Analisis Lyapunov Eksponen

Lyapunov eksponen didefinisikan sebagai perbedaan eksponensial divergen-si atau konvergensi dua vektor di sebuah bidang yang dimulai pada daerah sekitar bidangnya. Definisi lain dikemukakan oleh R. Gencay dalam papernya yang berjudul 'An Algoritm For The n Lyapunov Exponents Of An n-dimensional Unknown Dynamical System' menjelaskan bahwa Lyapunov eks-ponen dari suatu sistem adalah sekumpulan invarian geometri yang diukur dengan menggambarkan secara intuitif isi dinamika dari sistem. Lyapunov eksponen mengukur nilai dari divergensi atau konvergensi dari dua titik awal yang sangat dekat dari sistem dinamika.

Lyapunov eksponen berfungsi untuk menentukan ketergantungan sebuah sistem yang sensitif terhadap kondisi awal. Selain itu, metode Lyapunov eks-ponen ini digunakan untuk menganalisis prilaku dinamika dari sebuah sistem. apakah perilakunya chaos, limit cycle atau periodik.

Lyapunov eksponen merupakan bagian penting dalam analisis suatu sistem chaos, karena metode ini tidak hanya menunjukkan kualitatif ketergantungan sebuah sistem yang sensitif pada kondisi awal, tetapi juga memberikan ku-antitatif ukuran rata-rata tingkat pemisahan atau ketertarikan dari lintasan terdekat pada bidang tertentu. Contoh grafik Lyapunov eksponen pada sirkuit Rossler adalah seperti yang ditunjukan oleh gambar dibawah ini: 

Algoritma Wolf digunakan untuk menghitung nilai Lyapu-nov eksponen. Pada dasarnya algoritma ini mendeskripsikan metode gram-sch midth reorthonormalisasi (GSR) yang digunakan untuk mengubah vector dari sebuah orthogonal menjadi orthonormal.

Tabel 2.2 dibawah ini menunjukan pengelompokan nilai Lyapunov eksponen terhadap type attractor. Jika suatu sistem adalah sistem tiga dimensi, maka sistem tersebut memiliki tiga nilai Lyapunov eksponen. Nilai Lyapunov eksponen yang positif dan nol menunjukkan chaos, dua nol Lyapunov eksponen menunjukkan bifurkasi, nol dan negatif Lyapunov eksponen menunjukkan per-iodisitas, namun jumlah dari Lyapunov eksponen harus negatif. Jika ada salah satu nilai Lyapunov eksponen yang positif maka sistem mencerminkan chaos dan mempunyai strange attractor yang baik.

Posted in: Chaos